check 解答例と補足説明 「場の量子論 | 不変性と自由場を中心にして | 」

 

裳華房 量子力学選書

「場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして — ^」

坂本 眞人 著

check ^{解答例と補足説明}

この「 check 解答例と補足説明」は、教科書と一体のものとして書かれています。

教科書本文中に

⟨

check

⟩

として与えられている問題の詳細な解答だけでなく、

問題を解く上での考え方やちょっとしたテクニックについても随時コメントを加 えています。もちろん、教科書本文同様、すべての式を飛ばすことなく誰もが式 を追うことができるように、解答例では丁寧な導出を心掛けました。また、ペー ジ数の制約上、教科書では割愛せざるを得なかったトピックについても解説を 加えました。場の量子論の理解をより深めるためにも、教科書と合わせてこの

「 check 解答例と補足説明」をご活用ください。

 

量子力学選書「場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして — 」

裳華房、坂本眞人著

第１章 check 解答例と補足説明

＜＜ 変更履歴 ＞＞

2020/03/31

全面的に誤植等を修正。また、よりわかりやすい説明となるように、適宜加筆修正を行った。

2014/11/22

解答例の誤植を修正。

2014/04/09

第 1 章の解答例をアップ

＜＜ 内容 ＞＞

• check 1.1 ∼ check 1.6 の解答例

check 1.1

(1.25) で与えられる Λ = P, T, P T が、それぞれ (1.22) でのクラス (2), (3), (4) に属す ることを確かめよ。また、 x

^µ

→ x

^′µ

=

∑

3 ν=0

Λ

^µν

x

^ν

^{の変換の下で、} P ^{は空間反転} (x

^′0

= +x

⁰

, x

^′i

= − x

ⁱ

) 、 T は時間反転 (x

^′0

= − x

⁰

, x

^′i

= +x

ⁱ

) 、 P T は時空反転 (x

^′0

= − x

⁰

, x

^′i

=

−x

ⁱ

) を引き起こすことを確かめてみよう。

下記で定義される P, T, P T がそれぞれ教科書本文 (1.22) でのクラス (2), (3), (4) に属す ることを確かめる。

P =



 

 

1 0 0 0

0 − 1 0 0 0 0 − 1 0

0 0 0 − 1



 

  , T =



 

 

−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



 

  , P T =



 

 

−1 0 0 0

0 − 1 0 0

0 0 − 1 0

0 0 0 − 1



 

 

(1) まず、それぞれの行列の行列式を求める。

det(P ) = (+1) × ( − 1)

³

= − 1 det(T ) = ( − 1) × (+1)

³

= − 1

det(P T ) = ( − 1)

⁴

= +1 (2)

また、それぞれの行列の (00) ^成分は

(P )

⁰₀

= +1 (T )

⁰₀

= − 1

(P T )

⁰₀

= − 1 (3)

で与えられる。したがって、 P, T, P T は教科書本文 (1.22) でのクラス (2), (3) ,(4) に属する ことがわかる。

次に、 P ^{は空間反転、} T ^{は時間反転、} P T は時空反転を引き起こすことを確かめる。



 

  x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

 

−→

P



 

  x

^′0

x

^′1

x

^′2

x

^′3



 

  =



 

 

+1 0 0 0

0 − 1 0 0

0 0 − 1 0

0 0 0 − 1



 

 



 

  x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

  =



 

  x

⁰

− x

¹

− x

²

− x

³



 

 



 

  x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

 

−→

T



 

  x

^′0

x

^′1

x

^′2

x

^′3



 

  =



 

 

− 1 0 0 0

0 +1 0 0

0 0 +1 0

0 0 0 +1



 

 



 

  x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

  =



 

 

− x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

 



 

  x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

 

−→

P T



 

  x

^′0

x

^′1

x

^′2

x

^′3



 

  =



 

 

− 1 0 0 0

0 − 1 0 0

0 0 − 1 0

0 0 0 − 1



 

 



 

  x

⁰

x

¹

x

²

x

³



 

  =



 

 

− x

⁰

− x

¹

− x

²

− x

³



 

  (4)

これらの結果から、 P ^{は空間反転、} T ^{は時間反転、} P T は時空反転を引き起こすことがわ かる。

⃝ ^!

行列表示が便利なときもあるが、行列にこだわりすぎると後で出てくるテンソルが理解できなく なる。下の

4

つの表記が同等であることを確かめ、今後は一番下の表記

(8)

に慣れるようにして ほしい。





 x⁰ x¹ x² x³





 −→





 x^′0 x^′1 x^′2 x^′3





=







Λ⁰₀ Λ⁰₁ Λ⁰₂ Λ⁰₃ Λ¹0 Λ¹1 Λ¹2 Λ¹3

Λ²₀ Λ²₁ Λ²₂ Λ²₃ Λ³₀ Λ³₁ Λ³₂ Λ³₃











 x⁰ x¹ x² x³





+





 a⁰ a¹ a² a³





 (5)

~w







 x⁰ x¹ x² x³





 −→





 x^′0 x^′1 x^′2 x^′3





=







Λ⁰₀x⁰+ Λ⁰₁x¹+ Λ⁰₂x²+ Λ⁰₃x³ Λ¹₀x⁰+ Λ¹₁x¹+ Λ¹₂x²+ Λ¹₃x³ Λ²0x⁰+ Λ²1x¹+ Λ²2x²+ Λ²3x³ Λ³₀x⁰+ Λ³₁x¹+ Λ³₂x²+ Λ³₃x³





+





 a⁰ a¹ a² a³





 (6)

~w



x⁰ −→ x^′0=

∑3 ν=0

Λ⁰_νx^ν+a⁰

x¹ −→ x^′1=

∑3 ν=0

Λ¹νx^ν+a¹

x² −→ x^′2=

∑3 ν=0

Λ²νx^ν+a²

x³ −→ x^′3=

∑3 ν=0

Λ³νx^ν+a³ (7)

~w



x^µ −→ x^′µ=

∑3 ν=0

Λ^µ_νx^ν+a^µ, (µ= 0,1,2,3) (8)

最後の表記

(8)

で

Λ^µ_ν

は（行列ではなく）単なる係数なので、他の量と順番を入れ換えてもかま わないことに注意しよう。たとえば、

(8)

を

x^µ −→ x^′µ=

∑3 ν=0

x^νΛ^µν+a^µ, (µ= 0,1,2,3) (9)

と書いてもかまわない。なぜなら、

∑3 ν=0

Λ^µ_νx^ν= Λ^µ₀x⁰+ Λ^µ₁x¹+ Λ^µ₂x²+ Λ^µ₃x³

=x⁰Λ^µ₀+x¹Λ^µ₁+x²Λ^µ₂+x³Λ^µ₃=

∑3 ν=0

x^νΛ^µ_ν (10)

が成り立つからである。

check 1.2

A

^µ

, B

^µ

をベクトル、 T

^µν

を 2 階のテンソルとしたとき、 A

^µ

B

_µ

, A

_ρ

T

^ρµ

, A

^µ

B

^ν

はそれぞ れ、スカラー、ベクトル、 2 階のテンソルの変換性をもつことを確かめてみよう。

上の結果から、変換性を知りたいときは、和の取られた添字は無視してよいことがわかる。例えば、

AµB^µ∼ A_•B^•, AρT^ρµ∼A_•T^•µ

と見なしてよい。

ここで示すことは、 A

^µ

B

µ

, A

ρ

T

^ρµ

, A

^µ

B

^ν

はそれぞれ、スカラー、ベクトル、 2 ^階のテン ソルの変換性をもつこと、すなわち、

A

^′µ

B

^′_µ

= A

^µ

B

_µ

(11)

A

^′_ρ

T

^′ρµ

= Λ

^µ_λ

(

A

_ρ

T

^ρλ

)

(12) A

^′µ

B

^′ν

= Λ

^µ_ρ

Λ

^ν_λ

(

A

^ρ

B

^λ

)

(13) である。

まず、 (11) を示す。教科書本文 (1.26) と (1.27) の定義から、反変ベクトル A

^µ

と共変ベク トル B

µ

は次のように変換する。

A

^′µ

= Λ

^µ_ρ

A

^ρ

(14)

B

_µ^′

= B

_ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_µ

(15)

⃝ ^!

ここで注意すべき点は、教科書本文

(1.26)

と

(1.27)

、すなわち、

A^′µ= Λ^µνA^ν

と

Bµ^′ =Bν(Λ⁻¹)^νµ

をそのまま

(11)

左辺に代入してはいけない、という点だ。なぜなら、そのまま代入してしまうと

A^′µB^′_µ=(

Λ^µ_νA^ν) (

Bν(Λ⁻¹)^ν_µ)

（ ← 添字の使い方を間違った例）

となり、右辺には

ν

の添字が

4

つもあり、どの

ν

とどの

ν

の和がとられているのか、わからなく なってしまうからである。このようなときは、

(14)

のように片方の

ν

の添字を別の添字（

(14)

で は

ρ

）に書き換えておく必要がある。初学者はこの点をよく間違えるので注意しておこう。

(14) と (15) を (11) に代入して A

^′µ

B

^′_µ

= (

Λ

^µ_ρ

A

^ρ

) (

B

ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_µ

)

= A

^ρ

B

ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_µ

Λ

^µ_ρ

| {z }

δ^ν_ρ

= A

^ρ

B

ν

δ

^ν_ρ

| {z }

Bρ

= A

^ρ

B

ρ

= A

^µ

B

µ

= ⇒ (11) (16)

を得る。

⃝ ^!

上の計算についてコメントしておこう。

2

番目の等号では、

Λ^µρ

および

(Λ⁻¹)^νµ

は単なる係数 で行列ではないので順番を自由に入れ換えても構わないことと、

Λ⁻¹

が

Λ

の逆行列であること

((Λ⁻¹)^νµΛ^µρ=δ^νρ)

を用いた。

4

番目の等号では、クロネッカーシンボル

δ^νρ

の性質

(Bνδ^νρ=Bρ)

を用いた。最後の等号では、

ρ

の添字を

µ

に置き換えた。これは

ρ

について和がとられているの で、（他の添字と重複しなければ）任意の添字を使ってよいことを用いた。（このような添字はダ ミーインデックスと呼ばれる。）

次に (12) を示すために、 A

_ρ

と T

^ρµ

の変換性を下に与えておく。（和がとられている添字 が重複しないように注意しよう。）

A

^′_ρ

= A

α

(Λ

⁻¹

)

^α_ρ

(17)

T

^′ρµ

= Λ

^ρ_σ

Λ

^µ_λ

T

^σλ

(18)

これらを (12) ^{の左辺に代入して、}

A

^′_ρ

T

^′ρµ

= (

A

_α

(Λ

⁻¹

)

^α_ρ

) ( Λ

^ρ_σ

| {z }

δ^α_σ

Λ

^µ_λ

T

^σλ

)

= Λ

^µ_λ

A

_α

(

δ

^α_σ

T

^σλ

| {z }

T^αλ

)

= Λ

^µ_λ

(

A

α

T

^αλ

| {z }

AρT^ρλ

) = ⇒ (12) (19)

を得る。

最後に (13) ^{を示す。そのために、} A

^µ

^と B

^ν

の変換性を下に与えておく。

A

^′µ

= Λ

^µ_ρ

A

^ρ

(20)

B

^′ν

= Λ

^ν_λ

B

^λ

(21)

ここでも、和がとられている添字が重複しないように気を付けよう。これらを (13) ^左辺に 代入して

A

^′µ

B

^′ν

= (

Λ

^µ_ρ

A

^ρ

) (

Λ

^ν_λ

B

^λ

)

= Λ

^µ_ρ

Λ

^ν_λ

(

A

^ρ

B

^λ

)

= ⇒ (13) (22)

を得る。

check 1.3

ある慣性系で A = B および A

^µν

= B

^µν

が成り立っていれば、任意の慣性系で A

^′

= B

^′

および A

^′µν

= B

^′µν

が成り立つことを確かめてみよう。

ここで確かめることは、

A = B ⇐⇒ A

^′

= B

^′

(23)

A

^µν

= B

^µν

⇐⇒ A

^′µν

= B

^′µν

(24) である。 (23) での A, B はスカラー量、すなわち、 A

^′

= A, B

^′

= B なので、 (23) は自明に 成り立つ。

(24) を示すために、テンソル A

^µν

, B

^µν

の変換性を下に与えておく。

A

^′µν

= Λ

^µ_ρ

Λ

^ν_λ

A

^ρλ

B

^′µν

= Λ

^µ_ρ

Λ

^ν_λ

B

^ρλ

(25) これらを用いると、

A

^′µν

− B

^{′µν (25)}

= Λ

^µ_ρ

Λ

^ν_λ

(

A

^ρλ

− B

^ρλ

)

(26)

となるので、 A

^µν

= B

^µν

（同じことだが A

^ρλ

= B

^ρλ

）が成り立てば、 A

^′µν

= B

^′µν

が成り

立つことがわかる。逆に、 A

^′µν

= B

^′µν

^{が成り立てば} A

^µν

= B

^µν

が成り立つことは、ローレ

ンツ逆変換を考えれば同様に証明できる。

⃝ ^!

上の証明からわかるように、任意のテンソル型の方程式

A^µ1···µNν₁···ν_K =B^µ1···µNν₁···ν_K

は任 意の慣性系で成り立つことがわかる。すなわち、

A^µ1···µN_ν1···νK =B^µ1···µN_ν1···νK ⇐⇒ A^{′µ1···µN}_ν1···νK=B^{′µ1···µN}_ν1···νK (27)

証明は

A^µ1···µNν₁···ν_K,B^µ1···µNν₁···ν_K

の変換性

A^{′µ1···µN}ν₁···ν_K = Λ^µ1α₁· · ·Λ^µNα_N×A^α1···αN_β1···β

K×(Λ⁻¹)^β1_ν1· · ·(Λ⁻¹)^βK_ν

K

B^{′µ1···µN}_ν1···νK = Λ^µ1_α1· · ·Λ^µN_αN×B^α1···αN_β

1···β_K×(Λ⁻¹)^β1_ν

1· · ·(Λ⁻¹)^βK_ν

K (28)

から

A^{′µ1···µN}ν₁···ν_K−B^{′µ1···µN}ν₁···ν_K

= Λ^µ1α₁· · ·Λ^µNα_N

(A^α1···αN_β1···β

K−B^α1···αN_β1···β

K

)(Λ⁻¹)^β1_ν1· · ·(Λ⁻¹)^βK_ν

K (29)

が成り立つことから示される。

このことから、任意のスカラーやベクトルも含めたテンソル型の方程式は、相対論的不変性を自 動的に満たすことがわかる。このことは、同時に任意の慣性系で同じ方程式が成り立つことを意 味する。

check 1.4

関数 p

^µ

f (p

²

) ^は、 p

^µ

→ − p

^µ

の変換の下で奇関数なので、 ∫

d

⁴

p p

^µ

f (p

²

) = 0 ^が任意の f (p

²

) に対して成り立つ。この関係式を不変テンソルの観点から理解してみよう。 （積分

∫ d

⁴

p p

^µ

f(p

²

) は定義されているものとする。）

(1) 不変ベクトルは存在しないことを証明してみよう。

【ヒント】任意のローレンツ変換の下で、

Λ^µ_νV^ν=V^µ

を満たす非自明な定数ベクトル

V^µ

が存 在するか？

(2) ^関係式 ∫

d

⁴

p p

^µ

f (p

²

) = 0 を不変テンソルの観点から説明してみよう。

(1) 不変ベクトル V

^µ

の定義は、定数ベクトルなのだが、ローレンツ変換の下でベクトル の変換性をもつとみなしてもよいベクトルのことである。すなわち、

Λ

^µ_ν

V

^ν

= V

^µ

(30)

を満たす定数ベクトルのことである。以下では、上式を満たす定数ベクトル V

^µ

^は V

^µ

= 0 であることを示す。

以下の証明は行列表記で行うことにする。 (30) を行列表記で書くと



 

 

Λ

⁰₀

Λ

⁰₁

Λ

⁰₂

Λ

⁰₃

Λ

¹₀

Λ

¹₁

Λ

¹₂

Λ

¹₃

Λ

²₀

Λ

²₁

Λ

²₂

Λ

²₃

Λ

³₀

Λ

³₁

Λ

³₂

Λ

³₃



 

 



 

  V

⁰

V

¹

V

²

V

³



 

  =



 

  V

⁰

V

¹

V

²

V

³



 

  (31)

となる。ここで、 Λ

^µν

として z 軸まわりの θ 回転を考えると



 

 

Λ

⁰₀

Λ

⁰₁

Λ

⁰₂

Λ

⁰₃

Λ

¹₀

Λ

¹₁

Λ

¹₂

Λ

¹₃

Λ

²₀

Λ

²₁

Λ

²₂

Λ

²₃

Λ

³₀

Λ

³₁

Λ

³₂

Λ

³₃



 

  =



 

 

1 0 0 0

0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0

0 0 0 1



 

  (32)

で与えられるので、 (31) ^は



 

 

V

⁰

cos θ V

¹

− sin θ V

²

sin θ V

¹

+ cos θ V

²

V

³



 

  =



 

  V

⁰

V

¹

V

²

V

³



 

  (33)

となる。上式が任意の θ に対して成り立つためには

V

¹

= V

²

= 0 (34)

でなければならないことがわかる。

同様に、 x 軸まわりの回転を考えることによって

V

²

= V

³

= 0 (35)

が導かれる。

最後に x 軸方向のローレンツブースト変換を考えると



 

 

Λ

⁰₀

Λ

⁰₁

Λ

⁰₂

Λ

⁰₃

Λ

¹₀

Λ

¹₁

Λ

¹₂

Λ

¹₃

Λ

²₀

Λ

²₁

Λ

²₂

Λ

²₃

Λ

³₀

Λ

³₁

Λ

³₂

Λ

³₃



 

  =



 

 

γ (v) −γ(v)

^v_c

0 0

− γ(v)

^v_c

γ(v) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 

  , γ(v) ≡ 1

√ 1 − (v/c)

²

(36) なので、 (31) に代入すると



 

 

γ(v) V

⁰

− γ (v)

^v_c

V

¹

− γ (v)

^v_c

V

⁰

+ γ(v)V

¹

V

²

V

³



 

  =



 

  V

⁰

V

¹

V

²

V

³



 

  (37)

となり、

V

⁰

= V

¹

= 0 (38)

が導かれる。

以上の結果より、任意のローレンツ変換に対して (30) を満たす定数ベクトルは V

⁰

= V

¹

= V

²

= V

³

= 0 (39) となり、非自明な不変ベクトル V

^µ

は存在しないことがわかる。

(2) まず、

V

^µ

≡

∫

d

⁴

p p

^µ

f (p

²

) (40)

が不変ベクトルの性質 (30) を満たすことを示す。そのために、右辺を次のように変形 する。

V

^µ

=

∫

d

⁴

p p

^µ

f (p

²

)

=

∫

d

⁴

p

^′

p

^′µ

f (p

^′2

)

=

∫

d

⁴

p Λ

^µ_ν

p

^ν

f (p

²

)

= Λ

^µ_ν

∫

d

⁴

p p

^ν

f(p

²

)

= Λ

^µ_ν

V

^ν

(41)

ここで、 2 番目の等号では積分変数 p

^µ

^を p

^′µ

^{に書き換えた。また、} 3 ^{番目の等号では} p

^′µ

≡ Λ

^µ_ν

p

^ν

の変数変換を行った。このとき、ローレンツ変換の性質より、 d

⁴

p

^′

= d

⁴

p, p

^′2

= p

^′µ

p

^′_µ

= p

^µ

p

µ

= p

²

^{を用いた。} 4 ^{番目の等号では} Λ

^µν

は単なる定数係数なので積 分の外に出した。

定義より（ p

^µ

については積分されているので） V

^µ

^{は定数であり、かつ、} (41) ^より不 変ベクトルの性質 V

^µ

= Λ

^µν

V

^ν

を満たさねばならない。しかしながら、非自明な不変 ベクトルは存在しないことを上で証明したので、

∫

d

⁴

p p

^µ

f(p

²

) = V

^µ

= 0 (42) が導かれる。

check 1.5

質量 m から、 c と

ℏ

を適当にかけることによって、長さの次元をもつ量 L を作り、 (1.3) のクライン – ゴルドン方程式の質量項と比べてみよう。

【ヒント】

L=m^pc^qℏ^r

とおいて両辺の次元を等しくおき、

p=q=−1, r= 1

を導け。

すべての物理量の次元は、長さ [L] ^、時間 [T ] ^、質量 [M ] の次元の組み合わせで表すこと ができる。たとえば、光速 c とプランク定数

ℏ

はそれぞれ速さと角運動量の次元をもってい るので、 L ^、 T ^、 M ^で表すと

[c] = [ 速さ ] = [ 長さ / 時間 ] = [L/T ]

[

ℏ

] = [ 角運動量 ] = [mvr] = [M × (L/T ) × L] = [M L

²

/T ] (43) このことを用いて、質量 m から c と

ℏ

の適当なベキをかけることによって、長さの次元を もつ量を作ることができる。すなわち、

[m

^p

c

^qℏ^r

] = [L] (44)

左辺の量を (43) を用いて M 、 L 、 T で表すと次のようになる。

[m

^p

c

^qℏ^r

] = [M

^p

(L/T )

^q

(M L

²

/T )

^r

]

= [M

^p+r

L

^q+2r

T

^−q−r

] (45)

これが [L] に等しくならなければならないので、

 



 

p + r = 0 q + 2r = 1

− q − r = 0

(46)

を得る。これらを解くことによって

p = − 1, q = − 1, r = 1 (47)

が導かれる。すなわち、

ℏ

/(mc) が長さの次元をもつことがわかる。

[

ℏ

mc

]

= [L] (48)

教科書本文 (1.3) ^{で次のクライン} – ^{ゴルドン方程式} { 1

c

²

∂

²

∂t

²

− ∂

²

∂x

²

− ∂

²

∂y

²

− ∂

²

∂z

²

+ ( mc

ℏ

)

2

}

ϕ(t,

x) = 0

(49) が与えられているが、この中で質量項として (mc/ℏ)

²

の組み合わせで与えられている理由 は、上で行った次元解析から理解できる。なぜなら、

[ 1 c

²

∂

²

∂t

²

]

= [ ∂

²

∂x

²

]

= [ ∂

²

∂y

²

]

= [ ∂

²

∂z

²

]

= [ 1

L

²

]

(50) であり、これらの量と同じ次元をもつ量が (mc/

ℏ

)

²

なのである。

check 1.6

電磁気力が長距離力 ( 力の到達距離 = ∞ ) であることから、光子は質量を持たないこと を考察してみよう。

【ヒント】力の到達距離を

L

、力の源となる粒子の質量を

m

としたとき、

L

と

m

の関係は

check 1.5

で 与えられる。この関係は、

1.10

節の後半で議論した湯川の中間子論で用いられたものだ。なお、光子が質 量を持たないことは、第

3

章で詳しく議論する。もし、新しい力（第

5

の力？）が発見されたなら、その 力の到達距離を知ることが重要になる。なぜなら、到達距離からその力の源となる粒子の質量が推測でき るからである。

問いに答える前に 1.10 節で議論した湯川の中間子論をもう一度、復習しておこう。力の 源となる粒子の質量を m としたとき、その力の到達距離 L は大ざっぱに

力の到達距離 L ∼

ℏ

mc (51)

で与えられる。これは質量 m から作られる長さの次元をもった量が (check1.5 から )

ℏ

/mc で与えられるからである。

(51) の力の到達距離は、量子力学と相対論を用いて次のように理解することができる。ま

ず、量子論におけるエネルギーと時間の不確定性関係 ∆E · ∆t ∼

ℏ

^から、 ∆t ∼

ℏ

/E ^が得ら

れる。

∆E として力の源となる粒子の静止質量 mc

²

^{にとると、} ∆t ∼

ℏ/(mc²

) ^{の関係は、この粒} 子が ∆t の時間の間存在できることを意味する。このとき、 ∆t の時間の間にこの粒子が動 ける最大の移動距離は、光速 c ^をかけた

粒子の移動距離 ∼ c∆t ∼

ℏ

mc (52)

となる。力の到達距離 L が粒子の移動距離 (52) だとみなせば、 (51) の関係が得られること になる。

力の到達距離 L と粒子の質量 m との関係 (51) がわかれば、問いに答えることは簡単であ る。電磁気力は長距離力 ( 力の到達距離 L = ∞ ) であり、電磁気力の源となる粒子は光子な ので、光子の質量を m

γ

としたとき、 (51) ^から

m

γ

∼

ℏ

Lc

L=∞

= 0 (53)

が得られ、光子の質量はゼロであることがわかる。実際は、光子の質量がゼロなので、電磁 気力は長距離力なのである。

⃝ ^!

力の源となる粒子の質量を

m

としたとき、ポテンシャルエネルギーは、通常、湯川ポテンシャル

V(r)∝¹_re^−Lr

で与えられる。このとき

L

は力の到達距離に対応し、

r

は

2

粒子間の距離である。

クーロン力は

V(r)∝¹_r

^なので、

L=∞

に対応することがわかる。このことからクーロン力

(

電

磁気力

)

を長距離力と呼ぶのである。

 

量子力学選書「場の量子論 — 不変性と自由場を中心にして — 」

裳華房、坂本眞人著

第２章 check 解答例と補足説明

＜＜ 変更履歴 ＞＞

2020/03/31

全面的に誤植等を修正。また、よりわかりやすい説明となるように、適宜加筆修正を行った。

2014/11/22

解答例の誤植の修正。

2014/04/09

第 2 章の解答例をアップ

＜＜ 内容 ＞＞

• check 2.1 ∼ check 2.4 の解答例

• 『「量子力学は間違っている」は間違っている』の解説

check 2.1

(2.8) を確かめてみよう。

ここでは、時空並進 + ^{ローレンツ変換}

x

^λ

→ x

^′λ

= Λ

^λ_ρ

x

^ρ

+ a

^λ

(λ = 0, 1, 2, 3) (1) の下で、微分演算子 ∂

^µ

≡

_∂x^∂_µ

, ∂

_µ

≡

_∂x^∂µ

が次のように変換することを証明する。

∂

^′µ

= Λ

^µ_ν

∂

^ν

(2)

∂

_µ^′

= ∂

_ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_µ

(3)

まず、 (3) の変換性を示す。微分のチェーンルールを用いて、

∂

_ν

= ∂

∂x

^ν

= ∂x

^′λ

∂x

^ν

∂

∂x

^′λ

= ∂(Λ

^λ_ρ

x

^ρ

+ a

^λ

)

∂x

^ν

∂

∂x

^′λ

= Λ

^λ_ρ

∂x

^ρ

∂x

^ν

∂

∂x

^′λ

= Λ

^λ_ρ

δ

^ρ_ν

| {z }

Λ^λ_ν

∂

∂x

^′λ

| {z }

∂^′_λ

(

∵

∂x

^ρ

∂x

^ν

= δ

^ρ_ν

, ^添字 ρ, ν ^{の上下の位置に注意} )

= ∂

_λ^′

Λ

^λ_ν

(4)

両辺に (Λ

⁻¹

)

^ν_µ

^{をかけて、} Λ

^λ_ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_µ

= δ

^λ_µ

^{を用いると、}

∂

ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_µ

= ∂

_λ^′

δ

^λ_µ

= ∂

_µ^′

(5) となり、 (3) が得られる。したがって、 ∂

_µ

=

_∂x^∂µ

は ( ベクトルの添字 µ を下付きで書いてあ るように ) 、共変ベクトルの変換性をもつことがわかる。

次に (2) を証明する。議論を簡単化するために、 (1) で a

^λ

= 0 とおくことにする。これは、

微分 ∂

^µ

=

_∂x^∂

µ

は、時空並進のもとで不変なので、 (2) の証明には影響しないからである。

ローレンツ変換の下で、 x

λ

は共変ベクトルの変換性をもつので、

x

^′_λ

= x

_ρ

(Λ

⁻¹

)

^ρ_λ

(6) と変換する。この関係を用いると、

∂

^ν

= ∂

∂x

ν

= ∂x

^′_λ

∂x

ν

∂

∂x

^′_λ

= ∂(x

_ρ

(Λ

⁻¹

)

^ρ_λ

)

∂x

ν

∂

∂x

^′_λ

= δ

^ν_ρ

(Λ

⁻¹

)

^ρ_λ

| {z }

(Λ⁻¹)^ν_λ

∂

∂x

^′_λ

(

∵

∂x

ρ

∂x

_ν

= δ

^ν_ρ

, ^添字 ρ, ν ^{の上下の位置に注意} )

= (Λ

⁻¹

)

^ν_λ

∂

^′λ

(7)

となる。両辺に Λ

^µν

をかけると

Λ

^µ_ν

∂

^ν

= Λ

^µ_ν

(Λ

⁻¹

)

^ν_λ

| {z }

δ^µ_λ

∂

^′λ

= ∂

^′µ

(8)